Orlando Salgado

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CAPÍTULO II

La aritmética es el arte de contar; para comprender el significado

de la Matemática, para apreciar su belleza y valor es preciso, ante todo,

comprender la aritmética [……]. Y aunque el cálculo infinitesimal,

la teoría de probabilidades, el álgebra lineal, o la topología también

sean matemáticas, éstas son aún, en gran medida, el arte de contar.

Saber contar es saber comparar. Los números como abstracción y artificio,

son algo muy posterior.

E. KASNER/J. NEWMAN

LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Recordemos que un NÚMERO es un símbolo que indica la cantidad de elementos que posee un conjunto determinado. Ejemplo: la palabra cinco no tiene significado para nosotros, pero la expresión “cinco lápices” representa, en cualquier idioma, un conjunto de cinco objetos con características perfectamente definidas.


Se llama SISTEMA DE NUMERACIÓN a un conjunto de símbolos numéricos utilizado por el hombre, no sólo para indicar cantidades, sino también, para realizar con ellos, las diferentes operaciones tanto de tipo aritmético como algebraico.


Un Sistema de numeración tiene los siguientes elementos:


  1. El conjunto de símbolos numéricos (intervalo de enteros positivos), con el cero como límite inferior y cualquier otro número como límite superior, dependiendo del sistema.
  2. La base, que es igual al límite superior del intervalo, más uno (1).
  3. El nombre del sistema, que se genera a partir de la base del mismo.

Clasificación de los sistemas de numeración



Se ha aceptado como convención universal, utilizar para los diferentes sistemas los diez símbolos del sistema decimal, y para aquellos sistemas que requieren más de diez símbolos, se emplean las letras desde la A hasta la F; los primeros quince sistemas con sus nombres, bases y símbolos son los que aparecen en la tabla de la izquierda.


Nótese que el menor de los sistemas de numeración es el binario.

De todos éstos, los más utilizados en computación son el binario, el octal y el hexadecimal, debido a que la interconversión de un sistema a otro, es inmediata.


La siguiente tabla muestra las representaciones del 0 al 15 en varios sistemas:

Representación de guarismos en el ábaco vertical magnético

1. En el sistema de numeración decimal.


1.1. Números enteros:


El Ábaco tiene cinco columnas, cada una con diez fichas; al pie de cada columna, en el virtual, de derecha a izquierda, aparecen las siguientes letras cuyos significados son:


U: Unidades.

D: Decenas (diez unidades), representadas por el 10.

C: Centenas (cien unidades), representadas por el 100.

U.M.: Unidades de Mil (mil unidades) representadas por el 1000.

D.M.: Decenas de Mil (diez mil unidades) representadas por el 10000.


Este mismo orden corresponde al VALOR RELATIVO de cada dígito en un número escrito en el Sistema Decimal. 


Ejemplo:


En el número 5648:


El dígito 8 que ocupa el primer lugar, a la derecha, representa un conjunto de 8 unidades (U).


El dígito 4, está en el lugar de las decenas (D); por lo tanto se lee “cuatro decenas” lo que significa que su valor real es 4x10=40.


El dígito 6 esta en el lugar de las centenas ( C); por lo tanto se lee “ seis centenas” lo que significa que su valor real es 6x100=600.


El dígito 5 está en el lugar de las unidades de mil ( U.M); se lee “ cinco unidades de mil y su valor real es 5x1000=5000

Representación de enteros en el ábaco





1. Representar el número 5648.


1. Mueva hacia arriba, ocho fichas en la columna de las unidades.

2. Mueva hacia arriba, cuatro fichas de la columna de las decenas.

3. Desplace hacia arriba, seis fichas de la columna de las centenas.

4. Mueva hacia arriba, cinco fichas de la columna de las unidades de mil.




2. Representar el número 201:


Procedimiento:


  • Desplace hacia arriba, una ficha de la columna de las unidades.
  • En la columna de las decenas, no haga movimiento.
  • Mueva, hacia arriba, dos esferas de la columna de las centenas.
  • Para volver a cero, regrese todas las fichas a la posición original.









3. Representar el número 98053.



Procedimiento:


  • Desplace hacia arriba, tres fichas de la columna de las unidades.
  • Desplace hacia arriba, cinco fichas de la columna de las decenas.
  • En la columna de las centenas, no haga movimiento.
  • Mueva hacia arriba, ocho esferas de la columna de las unidades de mil.
  • Desplace hacia arriba, nueve fichas de la columna de las decenas de mil.
  • Para volver a cero, regrese todas las fichas a la posición original.


1.2. Números decimales:


Un número decimal es una expresión aritmética integrada por dos partes separadas entre sí, por el punto decimal ( . ); la ubicada a la izquierda del signo, indica la cantidad entera del conjunto; es decir, el número de elementos completos del mismo; la parte que se encuentra a la derecha del punto, representa fracciones iguales de otra unidad dividida en diez, cien, mil, diez mil o cualquier otra potencia de diez.


Ejemplos:


Explicación:


  • El primer número (7.8) que se lee “siete enteros, ocho decimas” indica que hay siete unidades completas y otra unidad, del mismo conjunto, ha sido dividida en diez partes iguales, de las cuales se han tomado ocho.

  • En el número (40.302), leído “cuarenta enteros, trescientos dos milésimas” hay cuarenta unidades completas, la otra unidad ha sido dividida en mil partes iguales, de las cuales se han tomado trescientas dos.

  • Ejercicio: Interprete y represente en el ábaco el último número decimal que aparece en la tabla.

Representación de decimales en el ábaco



  1. El número 8.8:

    • Ubique el punto decimal en el sitio que hay entre la columna de las unidades y la de las decenas.

    • De la primera columna de la derecha (que ya no es la de las unidades), mueva ocho fichas hacia arriba; esta cantidad corresponde a ocho décimas.

    • De la siguiente columna, a la izquierda de la primera, mueva ocho fichas; éstas representan las unidades.

    Nota: observe que el punto decimal queda ubicado, en el ábaco, entre estas dos columnas.


    1. El número 40.302:

    • Para ubicar el punto decimal, tenga en cuenta que son tres cifras decimales, por lo tanto, debe posicionarse entre las columnas tres y cuatro, de derecha a izquierda.

    • De la primera columna de la derecha, desplace 2 fichas hacia arriba; éstas representan dos milésimas.

    • De la siguiente columna, que representa las centésimas. no mueva fichas.


    • A continuación, realice el mismo procedimiento para representar las tres décimas.

    • La cuarta columna, que en este ejercicio hace las veces de unidades y que en el número está representada por el cero, déjela en blanco.

    • Por último, mueva cuatro fichas de la última columna.