Orlando Salgado

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CAPÍTULO III


Las operaciones aritméticas


La importancia del conocimiento

no radica en tenerlo, sino

en saberlo aplicar.

Orlando.


1. Conceptos preliminares


Antes de iniciar con las operaciones aritméticas, vale la pena realizar una serie de ejercicios preliminares sobre una
 
de las etapas que es imprescindible en el desarrollo de la mayoría de las operaciones, y la que ofrece más dificultad en

el momento del aprendizaje razón ésta que es determinante para claudicar en la utilización de esta importante ayuda

didáctica.

Las diferentes cifras de un número, en cualquier sistema, tienen un valor relativo que depende de la posición que

 ocupen en dicho número.

En el número 4297:

  • El 7, por ser la primera cifra de derecha a izquierda representa 7 unidades.

  • El 9, por estar ubicado en el segundo lugar de derecha a izquierda, representa 9 decenas, y como cada decena tiene 

10 unidades, entonces su verdadero valor es 9x10= 90 unidades.

  • El 2 ocupa el tercer lugar en el mismo sentido, y por lo tanto, representa 4 centenas; además, cada centena tiene 100

unidades, y así, su verdadero valor es 4x100 = 400 unidades.

  • Análogamente el 4 tiene un valor relativo de 4x1000 = 4000. Cuando en el ábaco se cuentan, una a una, las fichas 

hasta obtener un número determinado, quince, por ejemplo, se procede así:

Paso 1: se suben las primeras diez esferas.



Paso 2: para terminar de contar hasta 15, se reemplazan estas primeras diez por una decena, subiendo ésta y bajando aquéllas.

Paso 3: se cuentan las cinco unidades restantes.


Finalmente, el número que se lee es 15.


Ejemplo:


Represente en el ábaco, utilizando el método de conteo, el número 130.


Paso 1: de la primera columna, no mueva fichas.


Paso 2: mueva hacia arriba las 10 fichas de las decenas.


Paso 3: reemplace estas 10 decenas por una centena, (una ficha), subiendo ésta y bajando aquéllas.

Paso 4: por último, mueva las tres fichas que faltan de las decenas.

El número aquí representado es el 130.


Ejercicios:


Represente por el método de conteo uno a uno, los siguientes números: 29, 71, 234.


2. El conjunto de los números reales:


“Los números existen independientemente del mundo tangible; por lo tanto, su estudio está libre de la contaminación 


producida por las imprecisiones de la percepción. Esto significa que se pueden descubrir verdades que son 


independientes de la opinión o del prejuicio y, que son más absolutas que cualquier conocimiento anterior.”[1]


Este libro está dirigido a docentes de la básica primaria, cuya misión es enseñar lúdicamente las operaciones 


aritméticas fundamentales, siendo el ábaco una herramienta útil para este propósito.


Es entonces de vital importancia, recordar en forma breve los diferentes conjuntos que conforman el sistema de 


numeración decimal.



2.1. Conjunto de los números naturales:


Representado por la letra N, es el menor de todos aunque es infinito; tiene las siguientes características:


Su límite inferior es el número cero (0), que indica un conjunto vacío.


Es infinito a partir de este límite inferior.


Posee los diez dígitos que dieron origen al sistema, (0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8 y 9).


Los números son sólo símbolos, por tanto cada uno de ellos representa unidades completas de conjuntos concretos, o


sea manipulables y observables.



2.2. Conjunto de los números enteros:


Este conjunto se representa con la letra Z y tiene las siguientes propiedades:


Es infinito por ambos extremos.


Se divide en enteros positivos (Z+) equivalente al conjunto de los naturales y en enteros negativos (Z-).


Cada número de este conjunto representa unidades completas.



2.3. Conjunto de los números racionales:


Se representa con la letra R; sus principales características son:


Es también, un conjunto infinito.

Se expresan en la forma p/q, donde p es un número entero llamado numerador, y q, otro número entero, llamado 

denominador.

Se les llama, generalmente, números fraccionarios o fracciones.

Pueden ser expresados como números decimales, al dividir el numerador entre el denominador.

Una fracción es propia, cuando el numerador es menor que el denominador; representa cantidades menores que uno 

(una unidad); esto, puede demostrarse al convertirlo a número decimal.

Una fracción es impropia, cuando el numerador es mayor que el denominador, y representa cantidades que en valor 

absoluto, son mayores que la unidad.


2.4. Conjunto de los números irracionales:


Representado con la letra Q; sus principales propiedades son:


Es un conjunto infinito.


    Comprende expresiones positivas y negativas.

      No es ni entero ni fracción; tampoco puede ser escrito como decimal periódico.

      Los dos números más famosos que lo representan son ¶(PI) y raíz cuadrada de 2.


      2.5. Conjunto de los números imaginarios:



      Este conjunto se representa con la letra I; sus propiedades son:


      Es infinito.


        Es un conjunto independiente, ya que los anteriores se relacionan entre sí.

          Los elementos de este conjunto se originan en las raíces pares de una cantidad subradical negativa.

            El más pequeño de ellos es raíz cuadrada de menos 1 = i.


              Así, como al hablar de la materia, decimos que ésta contiene átomos, que los átomos contienen, a su vez, un núcleo y, 


              en la periferia, electrones; que el núcleo contiene protones y neutrones; análogamente, el conjunto de los números 


              reales, como se describió anteriormente, está integrado por cinco subconjuntos que, además, son infinitos; pero, que 


              también, están contenidos unos en otros, tal como se ilustra a continuación:


              El conjunto de los enteros contiene el conjunto de los números naturales; el conjunto de los números racionales 


              contiene el conjunto de los números enteros; el conjunto de los números imaginarios no contiene ni se deja contener 


              por alguno.



              Todo conjunto está integrado por elementos, salvo el conjunto vacío. El término contenencia se utiliza cuando todos 


              los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto mayor; ejemplo:


              En una institución educativa los alumnos y las alumnas se distribuyen en grupos, varios grupos de un mismo grado 


              (6º, por ejemplo), forman los niveles (6ºA, 6ºB, 6ºC, etc.); así, los grupos están contenidos en los niveles y, éstos a su 


              vez, están contenidos en las institución educativa.


              Regresando al conjunto de los números reales, si todos los elementos de cada uno de los subconjuntos los pudiéramos 


              depositar en una caja, existirían unas cajas dentro de otras; la forma más precisa de indicar y entender lo expresado 


              anteriormente, se ilustra con la siguiente figura:


              • [1] Pitágoras, El último teorema de Fermat.


              Operaciones con los números naturales

              1. Adición


              Si sobre una mesa hay tres paquetes de manzanas (tres conjuntos cuyos elementos tienen las mismas características), 


              y los reunimos para formar un solo paquete, el número total de manzanas, es el resultado de una operación llamada 


              adición.

                                                                         S u m a n d o s                                  T o  t a l


              Figura 1


              La adición es, entonces, un proceso de reunión de elementos de varios conjuntos, elementos que tienen  


              características comunes.


              En una adición o reunión, cada uno de los conjuntos que se reúne se llama sumando, y el conjunto final, se llama total 

               

              o suma; en el ejemplo anterior, cada uno de los paquetes de manzanas recibe el nombre de sumando y, el paquete que


              se obtuvo de la reunión, se llama total o suma.



              1.1. Leyes de la adición:



              Las leyes, o propiedades de las operaciones aritméticas y de las matemáticas, en general, son el espíritu de las 


              mismas, por eso, el docente debe focalizar la enseñanza en ellas, para lograr un óptimo aprendizaje.



              Ley uniforme:

              Las características de los elementos que conforman los sumandos, son las mismas de los elementos del conjunto suma.


              Ejemplos: Si los sumandos son manzanas, el total está integrado por las mismas manzanas; si los sumandos son


               caballos, el total corresponde, también, a caballos.


               
              Ley conmutativa:

              Cualquiera sea el orden en que se reúnan los paquetes, el total es el mismo. El enunciado de esta ley es: “En una


              adición, el orden de los sumandos no altera el total o suma”.

                                                         S u m a n d o s                                                    T o  t a l 


                                                                                     Figura 2



              Compare el orden de los sumandos de las figuras  1 y 2.



              Ley asociativa:

                

              Si en el ejemplo de los paquetes de manzanas, reunimos dos paquetes en uno solo, ( Figura 3), el total o suma es el mismo. Esta ley se enuncia así: 

              “si en una adición de varios sumandos se sustituyen parte de ellos por su total parcial, el gran total permanece inalterable”.



                                                                  S u m a n d o s                                    T o t a l 


                                                                                     Figura 3                                                           

              Ley disociativa:

              Es la ley opuesta a la anterior; el verbo disociar es sinónimo de desagrupar; en el ejemplo de la figura 2, si uno de los 


              paquetes se divide en dos, entonces, resultan cuatro paquetes; al reunirlos nuevamente, para formar uno solo (adición),


              el resultado no se altera.

              Ley modulativa:


              Al adicionar dos conjuntos, de los cuales uno es el conjunto vacío, el total o suma es el mismo conjunto; el cero, que 

              representa al conjunto vacío, se llama módulo de la adición.

              1.2. Problemas sobre adición:


              Reglas para la solución de problemas.


              El primer obstáculo para la solución de problemas es la deficiente comprensión de lectura, por eso los docentes deben 


              dedicar el tiempo suficiente a esta parte; esta inversión tendrá frutos muy positivos en los futuros años de escolaridad 


              de los niños.


              Las pautas, que a continuación aparecerán deberán ser seguidas rigurosa y permanentemente, sin importar el grado de 


              dificultad del problema; en esta forma se logrará que el estudiante se habitúe a su constante aplicación.


              1. leer el enunciado del problema; una vez entendido, habrá claridad sobre el área del conocimiento, (matemática, 


              física, ciencias naturales, etc.), el tema de dicha área, (adición, sustracción, multiplicación, etc.), los datos incluidos, y 


              otros, que posiblemente, no se encuentran en el enunciado, pero que son necesarios para la solución.


              2. Como encabezado de la solución, escribir toda esta información según la siguiente guía:


              Palabras y expresiones desconocidas: _______________________.


              Área : _____________________________.


              Tema: _____________________________.


              Datos conocidos : _____________________________.


              Datos desconocidos : __________________________.


              Orden de las operaciones: _____________________.


              Posible respuesta : ____________________________.


              3. Solucionar el problema respetando el orden que se ha diseñado.


              4. Comprobar que la respuesta obtenida sea coherente, con toda la información dada.


              5. Escribir la respuesta fiel con lo preguntado.



              Ejemplo:


              Un regimiento de infantería tiene 324 hombres en el primer batallón, 200 en el segundo y 330 en el tercero; 

              ¿de 
              cuántos hombres consta este regimiento?


              Solución:


              Palabras y expresiones desconocidas: regimiento de infantería.


              Área : aritmética.


              Tema: adición con números enteros positivos.


              Datos conocidos:


              Primer batallón               segundo batallón                   tercer batallón


              324 hombres                  200 hombres                        330 hombres


              Datos desconocidos: total de hombres en dicho regimiento.


              Orden de las operaciones: A 324 se le adiciona 200, y a este resultado parcial, se le adiciona 330.


              Posible respuesta: la dada por el estudiante.



              PROCEDIMIENTO:


              Primer paso:


              Marque en el ábaco el número 324, suba cuatro fichas de la columna de las unidades, dos fichas de la columna de las 


              decenas y tres de la columna de las centenas.

              Segundo paso:


              Sobre el dato anterior marque el número 200: sólo mueva hacia arriba dos fichas de la columna de las centenas, (dos 


              centenas corresponden a 200 unidades).

              Tercer paso:


              Sobre el dato anterior marque el número 330: suba tres fichas de la columna de las decenas y tres de la columna de 


              las centenas.


              El número representado por las fichas que ocupan la parte superior del ábaco, corresponde a la respuesta.

              Respuesta: este regimiento consta de 854 hombres.

              ______________________________________________________________________


              En una institución educativa se encuentran presentes cuatrocientos doce estudiantes; setenta y ocho están en una 

              caminata ecológica. ¿Cuántos estudiantes hay matriculados en dicha institución?

              Respuesta: en dicha institución se encuentran matriculados 490 estudiantes.


              ¿Cuál es el peso total de tres compañeros de mi grupo, si pesan, respectivamente, 54 kilogramos, 48 kilogramos y 

              61 kilogramos?

              Respuesta: el peso total de los tres compañeros es 163 kilogramos.

              _______________________________________________________________


              Un tendero ha recibido tres cajas con barras de jabón: la primera caja tiene 144 barras, la segunda 252 y la tercera 67 

              barras; ¿cuántas barras contienen las tres cajas?

              Respuesta: las tres cajas contienen 463 barras de jabón.


              ¿Qué cantidad de dinero se requiere para pagar las siguientes deudas: $2350, $2600, $5450 y $1800?

              Respuesta: para pagar esas deudas se requieren $12200 pesos.




              1.3. Problemas propuestos:



              En una feria se han vendido 445 carnellos, 118 vacas, 95 caballos, 247 bueyes y 405 cerdos; ¿cuántos animales se


              negociaron en dicho evento?


              Juan Felipe tiene $5700, Anderson tiene $11580 y Leidy tanto como sus dos compañeros; ¿cuánto tiene esta última

              persona y cuál es el gran total?


              Un regimiento de caballería tiene 325 caballos en el primer escuadrón, 290 en el segundo y 385 en el tercero; 

              ¿cuántos caballos tiene el regimiento?


              ¿Cuál es el peso de cuatro toros de lidia, si el primero pesa 436 kilogramos, el segundo 541, el tercer toro pesa 513 y

               el otro 498 kilogramos?


              ¿Cuál es la longitud de una pieza de tela, si después de haber vendido 43 metros, quedan, todavía, 32?


              Juan Sebastián compró un teléfono celular, y luego, lo vendió en $42650; ganándole $14500. ¿Cuál fue el precio de

               compra?


              Victor Manuel saca, de su dinero ahorrado, primero $8550, y luego, $15950; si le quedaron en la caja $23000; 

              ¿cuánto dinero tenía al principio?


              Hoy cumplo mis primeros seis años de edad; ¿cuál será mi edad dentro de 23 años?


              Después de haber repartido 26 cuadernos cuadriculados a mis estudiantes de primero elemental, me quedó igual 

              cantidad; ¿cuántos cuadernos tenía al principio?


              Seis calles miden, respectivamente, 342 metros, 225 metros, 80 metros, 718 metros, 162 metros y 895 metros; ¿cuál 

              es la longitud total?


              Después de haber repartido 99 lapiceros entre mis estudiantes, me quedaron 38; ¿cuántos tenía al principio?


              Andrés Mauricio nació en1989; ¿en qué año cumplió los 16 años?


              ¿Cuántos árboles tiene una finca con 396 manzanos, 247 naranjos y 195 perales?



              2. Sustracción:



              Si sobre una mesa hay un paquete que contiene cinco libros, a la acción de tomar tres libros del paquete se le denomina


              sustracción, palabra que proviene del verbo sustraer o tomar.

              Figura 6



              En esta operación, al paquete inicial se le denomina minuendo; la cantidad de libros que se toma se llama sustraendo,


              la parte que queda se denomina diferencia.


              La sustracción llamada, también, diferencia entre dos conjuntos, cuyos elementos tienen propiedades similares, es otro


              conjunto que adicionado al conjunto sustraendo, reproduce el minuendo.



              2.1. Leyes de la sustracción:


              En la sustracción o diferencia se cumplen tres leyes; ellas son:



              Ley uniforme:


              Las propiedades de los elementos de los conjuntos minuendo y sustraendo son las mismas de los elementos del conjunto


              diferencia. En la Figura 6, el minuendo y el sustraendo son dos conjuntos cuyos elementos son libros; la diferencia es


              otro conjunto integrado por libros.



              Ley modulativa:

              Minuendo             Sustraendo             Diferencia



              Al sustraer de un conjunto, (minuendo), el conjunto vacío, el resultado (diferencia), es el mismo conjunto minuendo; el


              conjunto vacío, representado por el símbolo cero, se llama módulo de la sustracción.


              Nota: en la sustracción con números naturales no se cumplen la ley asociativa, la disociativa y la conmutativa.



              2.2. Problemas sobre sustracción:


              Un padre tenía 26 años al nacer su hijo. ¿Cuál será la edad de su hijo cuando el padre cumpla 77 años?

              Solución:


              Palabras y expresiones desconocidas: las dadas por el estudiante.


              Área: aritmética.


              Tema: sustracción con números enteros positivos.


              Datos conocidos:


              Edad del padre en el pasado: 26 años.


              Edad del padre en el futuro: 77 años.


              Datos desconocidos: edad del hijo cuando el padre tenga 77 años.


              Orden de las operaciones: a 72 años se le resta 29 años.


              Posible respuesta: la dada por el estudiante.



              PROCEDIMIENTO:


              Primer paso:


              Marque en el ábaco la cifra 77, (mueva hacia arriba siete fichas de la columna de las unidades y siete fichas de la


              columna de las decenas).

              Segundo paso:


              Al dato anterior, retírele las fichas que representan el número 26, ( mueva hacia abajo seis fichas de la columna de las


              unidades y dos fichas de la columna de las decenas).

              Tercer paso:


              Haga la lectura del número que representa las fichas que se encuentran ubicadas en la parte superior, ésta es la


              respuesta.


              Respuesta: la edad del hijo cuando el padre cumpla 77 años, será 51 años.


              En un recipiente que tiene una capacidad para 568 litros se depositan, inicialmente, 143 litros; ¿cuántos litros se

              necesitan para llenarlo, completamente?

              1                                         2 Respuesta



              Respuesta: se necesitan 425 litros para llenarlo.


              De 524 estudiantes que tiene una institución educativa, 102 se encuentran en una caminata ecológica; ¿cuántos

              estudiantes se encuentran en la institución?

              1                                  2 Respuesta.




              Respuesta: en la institución se encuentran 422 estudiantes.


              De un corte de 432 metros de paño, un comerciante vende 325 metros, ¿cuántos metros tiene para vender?

              1                                           2

              3                                    4 Respuesta



              Respuesta: al comerciante le quedan, todavía, 107 metros de paño para vender.

              _______________________________________________________________


              ¿En qué año nació mi amigo si en el 2008 cumple 18?

              5


              Explicación:


              Marque en el ábaco el número 2008. Figura 1.

              Baje las ocho esferas azules que corresponden a las ocho unidades del número dieciocho. Figura 2.

              En las columnas de las decenas y de las centenas no hay fichas disponibles, entonces baje una esfera de color naranja,

              (una unidad de mil), y suba las diez esferas de color rojo, que representan mil unidades. Figura 3.

              Ahora, baje una esfera roja, (una centena), y suba las diez decenas (esferas moradas). Figura 4.

              Baje una esfera morada que equivale a una decena representada en el número diez y ocho.

              La respuesta está indicada por las fichas que se encuentran en la parte superior de la figura 5.

              Respuesta: su amigo nació en 1990.

              ______________________________________________________________________



              2.3. Problemas propuestos:


              Una competencia ciclística consta de 19348 kilómetros; si los ciclistas han recorrido, hasta el momento, 8751

              kilómetros; ¿cuántos kilómetros hacen falta para terminar la prueba?


              Si mi edad dentro de 23 años es de 29, ¿cuántos años tengo en este momento?


              Federico vendió su teléfono celular en $53210, ganándole $9630. ¿Cuál fue el precio de compra?


              Regalé 41 lápices a mis estudiantes, de 65 que tenía al principio; ¿qué cantidad tengo, aún?


              Un regimiento de caballería tiene 609 caballos, si el primer escuadrón cuenta con 401 caballos, ¿con cuántos cuenta el

              segundo regimiento?


              De $83200 que Lorena tiene ahorrados, retira $35250 para sus gastos personales, ¿qué cantidad de dinero conserva en

              su cuenta?


              Un trabajador recibe un salario mensual de $505000; sabiendo que debe pagar $260000 en arrendamiento; ¿cuánto le

              queda para el resto de las obligaciones en su hogar?




              2.4. Problemas combinados de adición y sustracción:



              Un ejército se componía de 54600 hombres; se le incorporan dos regimientos de 2745 hombres, y otro, de 3512

              hombres; en un combate pierde 3648 hombres. ¿Cuántos soldados permanecen en el ejército?


              Solución:


              Palabras y expresiones desconocidas: las dadas por el estudiante.

              Área : aritmética.

              Tema: problemas combinados de adición y sustracción con números enteros positivos.

              Datos conocidos:

              Número inicial de hombres que tiene el ejército: 54600.

              Los dos regimientos que se le incorporan de 2745 y 3512 hombres, respectivamente.

              Datos desconocidos : Con cuántos soldados queda el ejército:

              Orden de las operaciones: A 54600 se le adiciona 2745; a este total parcial, se le adiciona 3512, y a este total, se le 

              resta 3648.

              Posible respuesta: la dada por el estudiante.



              PROCEDIMIENTO:


              Primer paso:


              Marque en el ábaco el número 54600, subiendo las fichas requeridas.



              Segundo paso:


              Sobre la figura anterior, suba las fichas que corresponden al número 2745 ( adición de uno de los dos regimientos).


              Note que al moverlas, debe cambiarse una esfera de la columna de las unidades de mil, y bajar las diez de la columna


              de las centenas, para poder continuar con el conteo de las tres fichas restantes.



              Tercer paso:


              Sobre la figura anterior, suba las fichas que corresponden al número 3512 (adición del otro regimiento).





              Cuarto paso:



              Por último, baje las esferas que representan el número 3648 (hombres que murieron en combate).


              En la columna de las unidades de la figura anterior, hay siete esferas de color azul claro, ubicadas en la parte superior,


              de las cuales se baja, (restar), ocho; baje las siete; luego, cambie estas diez unidades por una decena, subiendo


              aquéllas y bajando una de color morado; por último, baje la unidad para completar las ocho; continúe el proceso, 


              bajando cuatro esferas de la columna de las decenas, seis de las centenas y tres de las unidades de mil, que representan


              el 3648; número que debe restarse de la figura anterior.


              Respuesta: en el ejército permanecen 57209 soldados.




              En un recipiente que tiene una capacidad para 743 litros, se depositan, sucesivamente, 256 litros de agua y 470 litros 

              de agua. ¿Cuántos litros se necesitan para llenar el recipiente?


              Respuesta: para llenar el recipiente se necesitan 17 litros.




              2.5. Problemas propuestos combinados sobre adición y sustracción.



              ¿Qué dinero tenía Anderson en el bolsillo, si con $25600 y $15400 que dos de sus amigos le pagan, completa $64200? 


              Un negociante ha comprado 220 metros de tela, y luego 240; vende 53 metros, y luego 107 metros. ¿Cuántos le 

              quedan todavía?


              Vendiendo llamadas telefónicas con su celular, una persona recibe en el primer día la suma de $16550, y en el segundo 

              día $23250; si debe pagar a la empresa $30150; ¿qué dinero ganó en esos días por concepto de llamadas?


              3. Multiplicación




              Si en un parqueadero hay dos conjuntos de carros, y los reunimos para formar un solo grupo, el número total se calcula 


              por medio de la adición.

              DOS CONJUNTOS SUMANDOS


              En esta operación, cada uno de los conjuntos sumandos tiene el mismo número de elementos.



              UN SOLO CONJUNTO DE ADICIÓN

              Este ejemplo corresponde a una adición cuyos sumandos son iguales; existen en la práctica muchos problemas de este 


              tipo, como el siguiente:


              El piso de una habitación tiene diez filas de baldosas, y cada fila, posee veinticuatro baldosas, tal como se ilustra:

              El número total de baldosas se calcula por medio de la adición, así:

              Para obviar este procedimiento, que resulta muy dispendioso en el caso de que el número de sumandos sea más 


              grande, la matemática emplea otro procedimiento que hace parte de las operaciones formales, llamada multiplicación, 


              definida como un caso especial de la adición en la que todos los sumandos son iguales.



              En esta operación el sumando que se repite se llama multiplicando; el número que representa las veces que se repite el 


              sumando es el multiplicador y el resultado, producto; ambos números se separan con el signo X que se lee “por”. A los 


              dos términos, (multiplicando y multiplicador), se les denomina factores. En el ejemplo anterior los factores son:


              Multiplicando: 24. factores


              Multiplicador: 10


              Producto: 240.


              La multiplicación se indica así: 24 x 10 = 240



              3.1. Leyes de la multiplicación.



              Ley conmutativa.


              El orden de los factores no altera el producto; esto quiere decir que en una multiplicación, el multiplicando puede 


              ocupar la posición del multiplicador y viceversa, sin que se modifique el resultado o producto; en el caso anterior, si 


              las filas de baldosas (multiplicador) pasan a ser columnas (multiplicando) y las columnas, filas; el número total de 


              baldosas continúa el mismo. (compare el número de filas y de columnas en las dos últimas tablas, que representan el 


              mismo número total de baldosas).



              • Ley modulativa:

              Toda cantidad (sumando - multiplicando) multiplicada por uno (número de veces que se repite el sumando (multiplicador) es 


              igual a la misma cantidad (total - producto).


              El uno (1), en esta ley, se llama módulo de la multiplicación.


              Esta ley es equivalente a la misma ley en la adición.


              S u m a n d o s


              Adición:                                                                           5         +              0                       =                    5 (total)



              Multiplicación:                                                                 5          x             1                      =                   5 (producto)

                                                                                                                 Multiplicando            multiplicador

              • Ley anulativa:

              Cuando en una adición hay un solo sumando, y éste, es el conjunto vacío, representado por el cero (0), el total o suma, es el 


              conjunto vacío (0); en la multiplicación, si el multiplicador es cero (número de veces que se repite el sumando), el producto es cero; 


              esta ley se enuncia así: toda cantidad multiplicada por cero, es igual a cero.



              3.2. Multiplicaciones básicas:


              Son operaciones en las que el multiplicando y el multiplicador tienen un solo dígito; se llaman así, porque la memorización del 


              enunciado y del producto de cada una de ellas es indispensable para la realización de multiplicaciones con un mayor número de 


              dígitos, en ambos factores.


              El nombre que se les ha dado (tablas de multiplicar) y la manera como se han enseñado siempre, son un obstáculo insalvable 


              para el aprendizaje de las matemáticas, pues es en esta etapa, en la que los niños sienten una mayor presión por parte de los 


              docentes y de los padres de familia para la memorización de las mismas, olvidándose que para ello, se necesita una mecanización 


              sustentada en procesos de aprendizaje concretos, como corresponde a las estructuras mentales de los niños de esta edad.



              A partir de este momento, los niños manifiestan, con mayor rigor, su incapacidad para entender esta área, pues como es bien 


              sabido, la multiplicación que es una operación formal, es parte fundamental en la solución de problemas en cualquier área del 


              conocimiento que involucre procesos aritméticos y matemáticos.



              Este libro desarrolla algunas de las operaciones básicas utilizando el método de adiciones sucesivas con sumandos iguales; el 


              módulo de conteo que aparece en la parte superior del ábaco indica, en cada caso, el número de veces que se repite dicho 


              sumando y que en la multiplicación corresponde al multiplicador.


              NOTA:


              • Al iniciar cada multiplicación básica con la ayuda del ábaco, todas las fichas del área de las operaciones se ubican en la 

              parte 
              inferior, y las del módulo de conteo, a la derecha.

              • Cuando todas las fichas de una columna específica se encuentran arriba, se hace el cambio correspondiente por una ficha de la 

              columna siguiente, tal como se explicó, con ejemplos en el capítulo III.

              • La respuesta de cada multiplicación básica, se obtiene de la lectura de la última figura que ilustra el proceso.

              • Cada multiplicación básica (la del dos, la del tres, la del cuatro, la del cinco, etc.), se realiza tres veces (2x3, 2x4, 2x5), los otros 

              • casos los realiza el lector con el objetivo de mecanizar los procesos y memorizar los resultados.


              3.2.1. Multiplicación del dos:


              2 x 3 =


              Procedimiento:


              1. Suba dos esferas de la columna de las unidades, y del módulo de conteo, mueva una ficha hacia la izquierda, para indicar que el 

              dos se tuvo en cuenta una vez. (Figura 1).

              2. Suba otras dos esferas de la columna de las unidades, y del módulo de conteo, mueva otra ficha hacia la izquierda, para indicar 

              que el dos se ha repetido dos veces como sumando. (Figura 2).

              3. Suba otras dos esferas de la columna de las unidades y del módulo de conteo, mueva la tercera ficha hacia la izquierda, para 

              indicar que el dos se tuvo en cuenta como sumando, una vez más. (Figura 3).


              El producto es seis (6), tomado de la figura 3.


              2x4=


              Procedimiento:


              1. Suba dos esferas de la columna de las unidades y del módulo de conteo mueva una ficha hacia la izquierda, para indicar que el
               
              dos se tuvo en cuenta una vez. (Figura 1).

              2. Suba otras dos esferas de la columna de las unidades y del módulo de conteo mueva otra ficha hacia la izquierda, para indicar 

              que el dos se ha repetido dos veces como sumando. (Figura 2).

              3. Suba otras dos esferas de la columna de las unidades, y del módulo de conteo mueva la tercera ficha hacia la izquierda, para

               indicar que el dos se tuvo en cuenta como sumando una vez más. (Figura 3).

                4. Suba otras dos esferas de la columna de las unidades, y del módulo de conteo mueva la cuarta ficha hacia la izquierda, para 

                indicar que el dos se tuvo en cuenta como sumando una vez más. (Figura 4).

                  5. El resultado corresponde a la lectura del número que arroja la figura 4, (ocho).


                  2x5=


                  Procedimiento:


                  1. Suba dos esferas de la columna de las unidades, y del módulo de conteo mueva una ficha hacia la izquierda, para indicar que el 

                  dos se tuvo en cuenta una vez. (Figura 1).

                    2. Suba otras dos esferas de la columna de las unidades, y del módulo de conteo mueva otra ficha hacia la izquierda, para indicar

                     que el dos se ha repetido dos veces como sumando. (Figura 2).

                      3. Suba otras dos esferas de la columna de las unidades, y del módulo de conteo mueva la tercera ficha hacia la izquierda, para

                       indicar que el dos se tuvo en cuenta como sumando una vez más. (Figura 3).

                        4. Suba otras dos esferas de la columna de las unidades, y del módulo de conteo, mueva la cuarta ficha hacia la izquierda, para

                         indicar que el dos se tuvo en cuenta como sumando una vez más. (Figura 4).

                          5. Repita el proceso una vez más, tanto en la columna de las unidades como en el módulo de conteo.

                            6. El diez (10) que se lee en la figura 5, es el resultado de esta multiplicación.